幾何學是研究空間結構和性質的學科。它是數學和分析中最基本的研究內容之一、代數學等具有同樣重要的地位，關系密切。幾何學歷史悠久，內容豐富。它和代數、分析、數論等等密切相關。幾何思想是數學中最重要的一種思想。數學各個分支的暫時發展趨向于幾何，即用幾何的觀點和思維方法去探索各種數學理論。常見的定理有勾股定理歐拉定理斯圖爾特定理。
名稱由來
幾何這個詞起源于希臘語兩個詞合起來指的是測量土地，也就是大地測量。后來拉丁語化為“geometry”中文中的“幾何”利瑪竇這個詞最早是在明朝使用的、徐光啟一起翻譯《幾何原本》的時候，是徐光啟創作的。當時沒有給出依據后人認為，一方面幾何可能是拉丁希臘語GEO的音譯，另一方面因為《幾何原本》也用幾何來解釋數論的內容，所以也可能是量級（多少）所以一般認為幾何是geometria的聲音、意并譯。
幾何1607年出版的《幾何原本》幾何譯本當時并不流行與此同時，出現了另一個三三三五四的玄學譯本，如狄考文、鄒立文、劉永熙編的《形學備旨》在當時也有一定的影響。一八五七年，李、在偉烈亞力翻譯的《幾何原本》最后九卷出版后，雖然幾何的名稱受到了一些關注，但直到20世紀初，才出現了取代形而上學一詞的明顯趨勢如1910年在成都第11次印刷時，徐樹勛將其改名為《形學備旨》。直到20世紀中葉，幾乎沒有“形學”一詞的使用出現。
翻譯者
徐光啟（1562年4月24日－1633年11月10日）
字子賢，號，教名保羅，漢族，明朝南直隸松江府上海縣人，中國明末數學家科學家、農學家、政治家、軍事家，官至禮部尚書、文淵閣大學士。贈太子太保、少保，謚文定。徐光啟也是中西文化交流的先驅之一他是上海最早的天主教徒，被譽為“圣教三柱石”之首。
李善蘭（1811.1.22～1882.12.9）
中國清代數學家、天文學家、力學家、植物學家。原名藍欣，字方靜，號丘賢，又號庶人．浙江海寧人。清嘉慶十五年十二月二十八日(1811年1月22日)生；光緒八年十月二十九日(1882年12月9日)卒于北京。我從小就喜歡數學，然后把杭州作為我所有學生的考試我拿到了元代著名數學家葉莉寫的《續幾何》，我研究了一下，很有成就。道光室相繼被寫入《測圓海鏡》、(《四元解》)(《麟德術解》)《弧矢啟秘》和《萬圓闡幽》等，都很有名。西安鳳雛住在上海1852年至1859年，與英國漢學家威廉亞力在上海墨海圖書館翻譯了歐幾里得《對數探源》最后9卷，并完成了明末徐光啟、利瑪竇未竟之業。
幾何作圖
公元前5世紀，雅典的“智者學派”以上述三大問題為中心，開展研究。正因為不能用尺規來解決，常常使人闖入新的領域中去。例如激發了圓錐曲線、割圓曲線以及三、四次代數曲線的發現。
17世紀解析幾何建立以后，尺規作圖的可能性才有了準則。1837年P.L.旺策爾給出三等分任意角和倍立方不可能用尺規作圖的證明,1882年C.L.F.von林德曼證明了π的超越性，化圓為方的不可能性也得以確立。1895年（C.）F.克萊因總結了前人的研究，著《幾何三大問題》(中譯本，1930)一書，給出三大問題不可能用尺規來作圖的簡明證法，徹底解決了兩千多年的懸案。
雖然如此，還是有許多人不管這些證明，想壓倒前人所有的工作。他們宣稱自己已解決了三大問題中的某一個，實際上他們并不了解所設的條件和不可解的道理。三大問題不能解決，關鍵在工具的限制，如果不限工具，那就根本不是什么難題，而且早已解決。例如阿基米德就曾用巧妙的方法三等分任意角。下面為了敘述簡單，將原題稍加修改。在直尺邊緣上添加一點p，命尺端為O。設所要三等分的角是∠ACB，以C為心，Op為半徑作半圓交角邊于A、B；使O點在CA延線上移動，p點在圓周上移動，當尺通過B時，聯OpB。
這里使用的工具已不限于尺規，而且作圖方法也與公設不合。另外兩個問題也可以用別的工具解決。
古希臘幾何作圖的三大問題是：
①化圓為方，求作一正方形，使其面積等于一已知圓。
②三等分任意角;③倍立方，求作一立方體，使其體積是一已知立方體的兩倍。這些問題的難處，是作圖只許用直尺（沒有刻度，只能作直線的尺）和圓規。
經過兩千多年的探索，最后才證明在尺規的限制下，根本不可能作出所要求的圖形。
希臘人強調作圖只能用直尺、圓規，有下列原因。①希臘幾何的基本精神，是從極少的基本假定（定義、公理、公設）出發，推導出盡可能多的命題。對于作圖工具，自然也相應地限制到不能再少的程度。②受柏拉圖哲學思想的影響。柏拉圖片面強調數學在訓練智力方面的作用而忽視其實用價值。他主張通過幾何學習達到訓練邏輯思維的目的，因此工具要有所限制，正象體育競賽要有器械的限制一樣。③以畢達哥拉斯學派為代表的希臘人認為圓是最完美的平面圖形，圓和直線是幾何學最基本的研究對象。有了尺規，圓和直線已經能夠作出，因此就規定只使用這兩種工具。歷史上最早明確提出尺規限制的是伊諾皮迪斯，以后逐漸成為一種公約，最后總結在歐幾里得的《幾何原本》之中。
幾何原本
歐幾里得在公元前300年左右，曾經到亞歷山大城教學，是一位受人尊敬的、溫良敦厚的教育家。他酷愛數學，深知柏拉圖的一些幾何原理。他非常詳盡的搜集了當時所能知道的一切幾何事實，按照柏拉圖和亞里士多德提出的關于邏輯推理的方法，整理成一門有著嚴密系統的理論，寫成了數學史上早期的巨著——《幾何原本》。
歷史意義
《幾何原本》的偉大歷史意義在于，它是用公理法建立起演繹的數學體系的最早典范。在這部著作里，全部幾何知識都是從最初的幾個假設除法、運用邏輯推理的方法展開和敘述的。也就是說，從《幾何原本》發表開始，幾何才真正成為了一個有著比較嚴密的理論系統和科學方法的學科。
幾何原本內容
歐幾里得的《幾何原本》共有十三卷，其中第一卷講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件；第二卷講如何把三角形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內接和外切多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷講述比例和算術得里論；最后講述立體幾何的內容。
從這些內容可以看出，目前屬于中學課程里的初等幾何的主要內容已經完全包含在《幾何原本》里了。因此長期以來，人們都認為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識的標準教科書。屬于《幾何原本》內容的幾何學，人們把它叫做歐幾里得幾何學，或簡稱為歐式幾何。
主要的特色
《幾何原本》最主要的特色是建立了比較嚴格的幾何體系，在這個體系中有四方面主要內容，定義、公理、公設、命題（包括作圖和定理）。《幾何原本》第一卷列有23個定義，5條公理，5條公設。（其中最后一條公設就是著名的平行公設，或者叫做第五公設。它引發了幾何史上最著名的長達兩千多年的關于“平行線理論”的討論，并最終誕生了非歐幾何。）
這些定義、公理、公設就是《幾何原本》全書的基礎。全書以這些定義、公理、公設為依據邏輯地展開他的各個部分的。比如后面出現的每一個定理都寫明什么是已知、什么是求證。都要根據前面的定義、公理、定理進行邏輯推理給予仔細證明。
幾何論證的方法
關于幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設所要求的已經得到了，分析這時候成立的條件，由此達到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實開始，逐步的導出要證明的事項；歸謬法是在保留命題的假設下，否定結論，從結論的反面出發，由此導出和已證明過的事實相矛盾或和已知條件相矛盾的結果，從而證實原來命題的結論是正確的，也稱作反證法。
歐幾里得《幾何原本》的誕生在幾何學發展的歷史中具有重要意義。它標志著幾何學已成為一個有著比較嚴密的理論系統和科學方法的學科。
幾何基礎
人們對《幾何原本》中在邏輯結果方面存在的一些漏洞、破綻的發現，正是推動幾何學不斷向前發展的契機。最后德國數學家希爾伯特在總結前人工作的基礎上，在他1899年發表的《幾何基礎》一書中提出了一個比較完善的幾何學的公理體系。這個公理體系就被叫做希爾伯特公理體。
希爾伯特不僅提出了—個完善的幾何體系，并且還提出了建立一個公理系統的原則。就是在一個幾何公理系統中，采取哪些公理，應該包含多少條公理，應當考慮如下三個方面的問題：
第一，共存性(和諧性)，就是在一個公理系統中，各條公理應該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統中。
第二，獨立性，公理體系中的每條公理應該是各自獨立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。
第三，完備性，公理體系中所包含的公理應該是足夠能證明本學科的任何新命題。
這種用公理系統來定義幾何學中的基本對象和它的關系的研究方法，成了數學中所謂的“公理化方法”，而把歐幾里得在《幾何原本》提出的體系叫做古典公理法。
公理化的方法給幾何學的研究帶來了一個新穎的觀點，在公理法理論中，由于基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什么，只專門研究抽象的對象之間的關系、性質。從公理法的角度看，我們可以任意地用點、線、面代表具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結合關系、順序關系、合同關系等，使這些關系滿足公理系統中所規定的要求，這就構成了幾何學。
因此，凡是符合公理系統的元素都能構成幾何學，每一個幾何學的直觀形象不止只有—個，而是可能有無窮多個，每一種直觀形象我們把它叫做幾何學的解釋，或者叫做某種幾何學的模型。平常我們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學的時候，并不是必須的，它不過是一種直觀形象而已。
就此，幾何學研究的對象更加廣泛了，幾何學的含義比歐幾里得時代更為抽象。這些，都對近代幾何學的發展帶來了深遠的影響。
