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轉(zhuǎn)動慣量

轉(zhuǎn)動慣量(Moment of Inertia)，又稱質(zhì)量慣性矩，簡稱慣距，是經(jīng)典力學(xué)中物體繞軸轉(zhuǎn)動時(shí)慣性的量度，常用用字母I或J表示。轉(zhuǎn)動慣量的SI單位為kg·m2。對于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，I=mr2，其中，m是其質(zhì)量，r是質(zhì)點(diǎn)和轉(zhuǎn)軸的垂直距離。

和線性動力學(xué)中的質(zhì)量相類似，在旋轉(zhuǎn)動力學(xué)中，轉(zhuǎn)動慣量的角色相當(dāng)于物體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的慣性，可用于建立角動量、角速度、力矩和角加速度等數(shù)個(gè)量之間的關(guān)系。

對于規(guī)則物體，其轉(zhuǎn)動慣量可以按照相應(yīng)公式直接計(jì)算；對于外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不均的物體，轉(zhuǎn)動慣量可通過實(shí)驗(yàn)方法來測定。實(shí)驗(yàn)室中最常見的轉(zhuǎn)動慣量測試方法為三線擺法。

轉(zhuǎn)動慣量

基本介紹編輯本段

轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時(shí)慣性的量度，其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。剛體的轉(zhuǎn)動慣量有著重要的物理意義，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工程技術(shù)、航天、電力、機(jī)械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個(gè)重要參量。

電磁系儀表的指示系統(tǒng)，因線圈的轉(zhuǎn)動慣量不同，可分別用于測量微小電流或電量，譬如檢流計(jì)、沖擊電流計(jì)等。在發(fā)動機(jī)葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形設(shè)計(jì)上，精確地測定轉(zhuǎn)動慣量，都是十分必要的。

對于質(zhì)量分布均勻，外形不復(fù)雜的物體，可以從其外形尺寸、質(zhì)量分布用公式計(jì)算出相對于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。對于幾何形狀簡單、質(zhì)量分布均勻的剛體可以直接用公式計(jì)算出它相對于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。而對于外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不均勻的物體只能通過實(shí)驗(yàn)的方法來精確地測定物體的轉(zhuǎn)動慣量，因而實(shí)驗(yàn)方法顯得更為重要。

動力學(xué)公式編輯本段

下面先給出一些（定軸轉(zhuǎn)動的）剛體動力學(xué)公式。

角加速度與合外力矩的關(guān)系：，式中，M為合外力矩，β為角加速度。

可以看出這個(gè)式子與牛頓第二定律具有類似的形式。

角動量：

剛體的定軸轉(zhuǎn)動動能：

注意：這只是剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動動能，其總動能應(yīng)該再加上質(zhì)心平動動能。由這一公式，可以從能量的角度分析剛體動力學(xué)的問題。

張量定義編輯本段

剛體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動的慣性可由慣性張量描述。慣性張量是二階對稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點(diǎn)任一軸的轉(zhuǎn)動慣量的大小。為了清晰，這里僅給出繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量張量的定義及其在力矩方程中的表達(dá)式。

設(shè)有一個(gè)剛體A，其質(zhì)心為C,剛體A繞其質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量張量

定義為：

該積分遍及整個(gè)剛體A，其中，，是剛體質(zhì)心C到剛體上任一點(diǎn)B的矢徑；表達(dá)式是兩個(gè)矢量的并矢，而

為單位張量，

是一個(gè)典型的單位正交曲線標(biāo)架；

是剛體的密度。

轉(zhuǎn)動慣量張量的力矩方程：

設(shè)剛體A所受到的繞其質(zhì)心C的合力矩矢量為：

，剛體A在慣性系下的角速度矢量為

，角加速度矢量為

，A繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量張量為

，則有如下的力矩方程：

將上面的矢量形式的力矩方程向各個(gè)坐標(biāo)軸投影，或者，更確切地說，與各個(gè)坐標(biāo)軸的單位方向矢量相點(diǎn)乘，就可以獲得各個(gè)坐標(biāo)軸分量方向的標(biāo)量形式的力矩方程。

轉(zhuǎn)動慣量張量

是一個(gè)二階張量，雖然在標(biāo)架

下它有九個(gè)分量，但是因?yàn)樗且粋€(gè)對稱張量，故其實(shí)際獨(dú)立的分量只有六個(gè)。

測定方法編輯本段

測定剛體轉(zhuǎn)動慣量的方法很多，常用的有三線擺、扭擺、復(fù)擺等。實(shí)驗(yàn)室中最常見的是三線擺法，該方法通過扭轉(zhuǎn)運(yùn)動測定物體的轉(zhuǎn)動慣量，其特點(diǎn)是物理圖像清楚、操作簡便易行、適合各種形狀的物體，如機(jī)械零件、電機(jī)轉(zhuǎn)子、槍炮彈丸、電風(fēng)扇的風(fēng)葉等的轉(zhuǎn)動慣量都可用三線擺測定。這種實(shí)驗(yàn)方法在理論和技術(shù)上有一定的實(shí)際意義。

實(shí)驗(yàn)原理

三線擺是在上圓盤的圓周上，沿等邊三角形的頂點(diǎn)對稱地連接在下面的一個(gè)較大的均勻圓盤邊緣的正三角形頂點(diǎn)上。當(dāng)上、下圓盤水平三線等長時(shí)，將上圓盤繞豎直的中心軸線轉(zhuǎn)動一個(gè)小角度，借助懸線的張力使懸掛的大圓盤繞中心軸作扭轉(zhuǎn)擺動。同時(shí)，下圓盤的質(zhì)心O將沿著轉(zhuǎn)動軸升降，H是上、下圓盤中心的垂直距離；h是下圓盤在振動時(shí)上升的高度；r是上圓盤的半徑；R是下圓盤的半徑；是扭轉(zhuǎn)角。

由于三懸線能力相等，下圓盤運(yùn)動對于中心軸線是對稱的，僅分析一邊懸線的運(yùn)動。用L表示懸線的長度，當(dāng)下圓盤扭轉(zhuǎn)一個(gè)角度α?xí)r，下圓盤的懸線點(diǎn)移動到，下圓盤上升的高度為，與其他幾何參量的關(guān)系可作如下考慮。

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

1）測定儀器常數(shù)。

恰當(dāng)選擇測量儀器和用具，減小測量不確定度。自擬實(shí)驗(yàn)步驟，確保三線擺的上、下圓盤的水平，使儀器達(dá)到最佳測量狀態(tài)。

2）測量下圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，并計(jì)算其不確定度

轉(zhuǎn)動三線擺上方的小圓盤，使其繞自身軸轉(zhuǎn)一角度α，借助線的張力使下圓盤作扭擺運(yùn)動，而避免產(chǎn)生左右晃動。自己擬定測的方法，使周期的測量不確定度小于其它測量量的不確定度。利用公式求出，并推導(dǎo)出不確定度傳遞公式計(jì)算的不確定度。

3）測量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量

在下圓盤上放上待測圓環(huán)，注意使圓環(huán)的質(zhì)心恰好在轉(zhuǎn)動軸上，測量系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量。測量圓環(huán)的質(zhì)量和內(nèi)、外直徑。利用式求出圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。并與理論值進(jìn)行比較，求出相對誤差。

4）驗(yàn)證平行軸定理

將質(zhì)量和形狀尺寸相同的兩金屬圓柱重疊起來放在下圓盤上，注意使質(zhì)心與下圓盤的質(zhì)心重合。測量轉(zhuǎn)動軸通過圓柱質(zhì)心時(shí)，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量。然后將兩圓柱對稱地置于下圓盤中心的兩側(cè)。測量此時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量。測量圓柱質(zhì)心到中心轉(zhuǎn)軸的距離計(jì)算，并與測量值比較。

相關(guān)定論編輯本段

轉(zhuǎn)動慣量詳解及物理意義

先說一說轉(zhuǎn)動慣量的由來，先從動能說起。大家都知道動能

，而且動能的實(shí)際物理意義是：物體相對某個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動的實(shí)際能量。

把

代入

，式中，w是角速度，r是半徑。

在這里對任何物體來說是把物體微分化分為無數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)與運(yùn)動整體的重心的距離為r，而再把不同質(zhì)點(diǎn)積分化得到實(shí)際等效的r，得到

。

由于某一個(gè)對象物體在運(yùn)動當(dāng)中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關(guān)于m、r的變量用一個(gè)變量K代替,

，得到

，K就是轉(zhuǎn)動慣量。

平行軸定理

一個(gè)物體以角速度ω繞固定軸z軸的轉(zhuǎn)動同樣可以視為以同樣的角速度繞平行于z軸且通過質(zhì)心的固定軸的轉(zhuǎn)動。也就是說，繞z軸的轉(zhuǎn)動等同于繞過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動與質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的疊加。

利用平行軸定理可知，在一組平行的轉(zhuǎn)軸對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量中，過質(zhì)心的軸對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量最小。垂直軸定理一個(gè)平面剛體薄板對于垂直它的平面軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和。

表達(dá)式:

轉(zhuǎn)動慣量的量綱為L2M，在SI單位制中，它的單位是

。剛體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動的慣性由更普遍的慣量張量描述。慣量張量是二階對稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點(diǎn)任一軸的轉(zhuǎn)動慣量的大小。

垂直軸定理

薄板的垂直軸定理

一個(gè)平面剛體薄板對于垂直它的平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動慣量之和，這就是垂直軸定理。

垂直軸定理的表達(dá)式為：

式中，

分別代表剛體對x,y,z三軸的轉(zhuǎn)動慣量。

對于非平面薄板狀的剛體，亦有如下垂直軸定理成立：

利用垂直軸定理可對一些剛體對一特定軸的轉(zhuǎn)動慣量進(jìn)行較簡便的計(jì)算。

剛體對一軸的轉(zhuǎn)動慣量，可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對該軸所形成的轉(zhuǎn)動慣量。由此折算所得的質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離，稱為剛體繞該軸的回轉(zhuǎn)半徑κ，其公式為

，式中，M為剛體質(zhì)量；I為轉(zhuǎn)動慣量。

除以上兩定理外，常用的還有伸展定則。伸展定則闡明，如果將一個(gè)物體的任何一點(diǎn)，平行地沿著一支直軸作任意大小的位移，則此物體對此軸的轉(zhuǎn)動慣量不變。可以想像，將一個(gè)物體，平行于直軸地，往兩端拉開。在物體伸展的同時(shí)，保持物體任何一點(diǎn)離直軸的垂直距離不變，則伸展定則闡明此物體對此軸的轉(zhuǎn)動慣量不變。伸展定則通過轉(zhuǎn)動慣量的定義式就可以簡單得到。