信息密度(Theinformationdensity)指一份信息所能提供的相關(guān)信息量的相對指標(biāo)。僅僅考慮系統(tǒng)的信息，是不夠的，因?yàn)檫@僅僅考慮了系統(tǒng)的聯(lián)系，忽略了系統(tǒng)的差異和相互作用。如果我們綜合考慮聯(lián)系、差異和相互作用，就不僅要考慮系統(tǒng)的信息，而且要考慮系統(tǒng)的慣性，由此就需要引出一個(gè)叫做信息密度的概念。

在系統(tǒng)動力學(xué)意義上，給出了慣性和存在量的概念，得到一個(gè)表征系統(tǒng)存在性的量：

E=KM/H⑴

其中E是系統(tǒng)存在量；K是比例系數(shù)；H：系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)信息量；M：系統(tǒng)的慣性。

并且指出，在一般系統(tǒng)中，系統(tǒng)存在量是單位信息的慣性；在物質(zhì)系統(tǒng)中，系統(tǒng)存在量是物質(zhì)的密度；在能量系統(tǒng)中，系統(tǒng)存在量是單位信息的信息能阻抗；在信息系統(tǒng)中，系統(tǒng)存在量是單位信息的信息阻抗。

現(xiàn)在我們再給出信息密度的概念：

S=K`H/M⑵

其中S是系統(tǒng)的信息密度；K`比例系數(shù)；H：系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)信息量；M：系統(tǒng)的慣性。

將公式⑴、⑵相乘，有：

ES=KK`

考慮適當(dāng)?shù)膯挝唬筀=1，K`=1，有：

ES=1

信息密度的意義是多方面的，在一般情況下，信息密度是單位慣性所具有的信息；在物質(zhì)系統(tǒng)中，信息密度是單位質(zhì)量具有的信息；在能量系統(tǒng)中，信息密度是單位信息能阻抗具有的信息；在信息系統(tǒng)中，信息密度是單位信息阻抗具有的信息。下面分別進(jìn)行討論。

從信息密度關(guān)系可以看出，信息密度實(shí)際上是單位慣性的信息。

“單位慣性的信息”是對于慣性結(jié)構(gòu)的刻畫，反映的是慣性結(jié)構(gòu)的簡單和復(fù)雜。

單位慣性的信息提供了對各種體系的信息進(jìn)行比較的基礎(chǔ)。

在對各種體系的信息進(jìn)行比較時(shí)，必須在同樣的慣性條件下來進(jìn)行，各種體系的慣性是不同的，因此必須在單位慣性的前提下來比較，即通過信息密度來比較。

在物質(zhì)系統(tǒng)中，慣性與質(zhì)量成正比，此時(shí)，單位慣性的信息變成單位質(zhì)量的信息。

“單位質(zhì)量的信息”是對于質(zhì)量結(jié)構(gòu)的刻畫，反映的是質(zhì)量結(jié)構(gòu)的簡單和復(fù)雜。

單位質(zhì)量的信息提供了對各種體系的信息進(jìn)行比較的基礎(chǔ)。

在對各種體系的信息進(jìn)行比較時(shí)，必須在同樣的質(zhì)量條件下來進(jìn)行，各種體系的質(zhì)量是不同的，因此必須在單位質(zhì)量的前提下來比較，即通過信息密度來比較。

單位質(zhì)量所具有的信息反映物質(zhì)結(jié)構(gòu)的簡單和復(fù)雜，這個(gè)問題涉及物質(zhì)、能量、信息的關(guān)系，有很多值得深入討論的東西。本文不打算對此作詳細(xì)討論，只介紹一下與之相關(guān)的張學(xué)文問題，供大家討論。

張學(xué)文在“系統(tǒng)科學(xué)之窗。論文專區(qū)”的一篇文章“質(zhì)量、能量、信息的統(tǒng)一與三角關(guān)系”中提出一個(gè)重要問題∶1克物質(zhì)可荷載多少信息？并把可荷載的最大信息與愛因斯坦的質(zhì)能公式相聯(lián)系，從而得出質(zhì)量、能量、信息的統(tǒng)一關(guān)系。張學(xué)文的原文摘抄如下∶

古代，為荷載一個(gè)漢字大概要用1克物質(zhì)（寫到竹子上）。而最近的新聞報(bào)道說韓國制成了256兆位的計(jì)算機(jī)存信息的芯片（這是1994年的語言）。我折算了一下它大約是1克物質(zhì)可以裝上100萬個(gè)漢字。而隨著科學(xué)進(jìn)步1克物質(zhì)可以裝載的信息量還會提高。但是即便將來真的能以單個(gè)原子或電子的有無表示信息，1克物質(zhì)可裝載的信息量可以更大，但它仍是個(gè)有限值。這個(gè)信息與質(zhì)量的極限比值就初步具有信息與質(zhì)量的絕對意義下的聯(lián)系關(guān)系了（而這個(gè)比值是有待我們?nèi)y算的）。

愛因斯坦的質(zhì)能公式，還含有質(zhì)量減少M(fèi)，則能量就增加MC2的意義。因而更深層次的信息與質(zhì)量的關(guān)系應(yīng)當(dāng)分析例如某種原子核反應(yīng)中質(zhì)量的減少過程信息量是否有增加？這些脫離了質(zhì)量（注意，我沒有講脫離物質(zhì)）的信息是以能量為載體嗎？如果是，那么單位能量最多荷載多少信息（無線電波就是荷載信息的一種能量）？信息論中關(guān)于信道寬度與每分鐘發(fā)送的信息量的關(guān)系是否可以回答這個(gè)問題？筆者目前無力斷言。

張學(xué)文問題用信息密度來表示就是：在物質(zhì)無限細(xì)分的情況下，是否存在一個(gè)極限，使信息密度趨于最大值。或者說：在ΔM趨于0的情況下，是否存在limS=maxS。這個(gè)問題涉及我們這個(gè)世界構(gòu)成的基礎(chǔ)，當(dāng)然是很重要的。

系統(tǒng)從狀態(tài)A變化到狀態(tài)C需要一定能量，這個(gè)能量不是一般能量，而是信息能。對系統(tǒng)而言，這個(gè)信息能的需要形成一個(gè)信息能壁壘，阻止系統(tǒng)從狀態(tài)A變化到狀態(tài)B，稱為信息能阻抗。

但是，如果有一個(gè)信息子集合H，它能克服信息能阻抗，而使系統(tǒng)從狀態(tài)A變化到狀態(tài)B，則說該信息子集合H擁有克服阻抗的信息能。

從信息能阻抗亦可對慣性進(jìn)行定義。

如果按照最小信息能阻抗來定義慣性，則信息密度是單位信息能阻抗具有的信息。

“單位信息能阻抗具有的信息”是對于信息能阻抗結(jié)構(gòu)的刻畫，反映的是信息能阻抗結(jié)構(gòu)的簡單和復(fù)雜。

在《發(fā)現(xiàn)信息能，利用信息能》一文中，我們已經(jīng)對信息能阻抗的意義進(jìn)行了討論，從信息能阻抗的意義可以直觀地來理解信息密度的意義，信息密度是形成單位信息能阻抗所需要的信息。

在對各種體系的信息進(jìn)行比較時(shí)，必須在同樣的信息能阻抗條件下來進(jìn)行，各種體系的信息能阻抗是不同的，因此必須在單位信息能阻抗的前提下來比較，即通過信息密度來比較。

系統(tǒng)慣性是根據(jù)信息來定義的，系統(tǒng)慣性定義為系統(tǒng)從某狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一狀態(tài)所需的最小信息量。與信息能阻抗類似，對系統(tǒng)而言，這個(gè)最小信息量的需要形成一個(gè)信息壁壘，阻止系統(tǒng)從狀態(tài)A變化到狀態(tài)C，稱為信息阻抗。

以信息阻抗來表征系統(tǒng)慣性，信息密度就是單位信息阻抗所具有的信息。

信息阻抗與普里戈金講的熵壘不一樣，熵與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)信息量相聯(lián)系，而信息阻抗與系統(tǒng)相互作用的特征信息量相聯(lián)系，信息密度則將系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)信息量和相互作用的特征信息量聯(lián)系起來。

在孤立系統(tǒng)中，由于相互作用的特征信息量是定值，信息密度僅決定于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)信息量，此時(shí)用信息密度來判斷系統(tǒng)運(yùn)動方向，與用熵增原理判斷系統(tǒng)運(yùn)動方向，是完全一致的。也就是說，在孤立系統(tǒng)中，信息密度與熵實(shí)際上是等價(jià)的（具有正比關(guān)系）；在開放系統(tǒng)中，信息阻抗的作用增大，用信息密度判斷開放系統(tǒng)運(yùn)動方向，實(shí)質(zhì)是用單位信息阻抗所具有的信息來判斷開放系統(tǒng)運(yùn)動方向。

怎樣用信息密度來判斷系統(tǒng)運(yùn)動方向呢？這要將信息密度與存在振蕩原理相聯(lián)系來考慮才能辦到。

存在振蕩原理的信息密度表述是說，形成信息密度振蕩的系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的。

為什么形成信息密度振蕩的系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的？前面說過，系統(tǒng)的同一性振蕩使得存在各方在一定的范圍內(nèi)共存，從而使回復(fù)運(yùn)動得以實(shí)現(xiàn)，系統(tǒng)達(dá)于某種穩(wěn)定狀態(tài)。而系統(tǒng)的同一性振蕩從定量角度表現(xiàn)為信息密度振蕩，故形成信息密度振蕩的系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的。

直接地說，當(dāng)形成信息密度振蕩時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)大幅度壓縮，從而使系統(tǒng)達(dá)于穩(wěn)定。

既然形成信息密度振蕩的系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的，那么，信息密度保持恒定的系統(tǒng)也可能是穩(wěn)定的。

現(xiàn)在來做一些具體分析。為簡便，假定慣性為常數(shù)，并以人們熟悉的信息熵公式為例。

信息變換平衡與系統(tǒng)穩(wěn)定

信息熵公式是∶

S=－∑Si=－∑PilnPi⑴；

其中∑Pi=1，（i=1，2，…，n）

在信息變換平衡時(shí)，信息熵計(jì)算中的n不變，而只是概率Pi（i=1，2，…，n）的值發(fā)生變化，即Si發(fā)生變化。若S保持恒定，則信息熵公式中的Si項(xiàng)保持共軛變化，即當(dāng)某些Si項(xiàng)變大時(shí)，另一些Si項(xiàng)將變小，使S總體上保持不變。因此，所有Si項(xiàng)可分為三部分：

⑴Si（i=1，2，…，k）保持恒定。

⑵Si（i=k+1，k+2，…，j）變大。

⑶Si（i=j+1，j+2，…，n）變小。

對于第一種情況，系統(tǒng)將運(yùn)行于Si（i=1，2，…，k）保持恒定所決定的狀態(tài)中，而排除Si（i=1，2，…，k）不保持恒定的那些狀態(tài)。

對于第二和第三種情況，系統(tǒng)狀態(tài)受到一種共軛約束，即當(dāng)某些Si項(xiàng)變大時(shí)，另一些Si項(xiàng)必須變小，系統(tǒng)只能運(yùn)行于由共軛約束所決定的狀態(tài)中，而排除共軛約束以外的那些狀態(tài)。

因此，系統(tǒng)將運(yùn)行于Si保持恒定的狀態(tài)和共軛約束所決定的狀態(tài)，系統(tǒng)將穩(wěn)定于這些狀態(tài)，而排除其他狀態(tài)。

共軛約束在保持系統(tǒng)運(yùn)行于特定狀態(tài)時(shí)的作用究竟有多大？可以舉例說明。

例如，兩個(gè)足球隊(duì)比賽，甲方取勝的可能性是4/5，乙方取勝的可能性是1/5，S=S（4/5，1/5）。假定在以后的比賽中，兩個(gè)足球隊(duì)構(gòu)成的系統(tǒng)保持熵不變，這只有兩種可能：

⑴仍然保持甲方取勝的可能性是4/5，乙方取勝的可能性是1/5。

⑵變化為甲方取勝的可能性是1/5，乙方取勝的可能性是4/5。

系統(tǒng)只能運(yùn)行于這兩種狀態(tài)，而排除其他狀態(tài)。

但是，系統(tǒng)要從第一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移到第二種狀態(tài)，需要克服很大的阻抗。因?yàn)榧追綖榱吮３衷瓉淼膬?yōu)勢，不斷在加強(qiáng)自己的實(shí)力，乙方要取代甲方的位置，必然要付出巨大的努力例如：調(diào)整隊(duì)伍、換教練、加強(qiáng)訓(xùn)練、增加經(jīng)費(fèi)等。同時(shí)，乙方取代甲方通常不可能一步到位，而兩個(gè)足球隊(duì)構(gòu)成的系統(tǒng)又要保持熵不變，這決定了在一個(gè)較長時(shí)間內(nèi)，兩個(gè)足球隊(duì)構(gòu)成的系統(tǒng)運(yùn)行于第一種狀態(tài)的可能性很大，運(yùn)行于第二種狀態(tài)的可能性很小。即根據(jù)系統(tǒng)保持熵不變的情況，可以判斷，系統(tǒng)將以很大概率穩(wěn)定運(yùn)行于第一種狀態(tài)。

在復(fù)雜系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)內(nèi)存在復(fù)雜的共軛約束，使系統(tǒng)可運(yùn)行狀態(tài)大大減少，系統(tǒng)將以很大概率穩(wěn)定運(yùn)行于很少數(shù)的狀態(tài)。

信息密度

在信息生滅平衡時(shí)，信息熵計(jì)算中的n要發(fā)生變化。

可以考慮概率Pi=1/n（i=1，2，…，n），則有：

S=－∑PilnPi=lnn⑵

即信息熵隨著n的變化而變化。

n的變化意味著什么呢？n的變化意味著系統(tǒng)中獨(dú)立要素的變化，也就意味著系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的變化。

為什么說n的變化意味著系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的變化呢？例如：n個(gè)要素按排列組合，其系統(tǒng)的可能結(jié)構(gòu)數(shù)為n！，即n×（n－1）×（n－2）×…×1，若n變化為（n+1），則系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可能變化為（n+1）！，即（n+1）×n×（n－1）×（n－2）×…×1，系統(tǒng)的可能結(jié)構(gòu)數(shù)增加（n+1）倍。

若信息熵保持不變，就意味著系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不變，如果系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變化，那也只意味著新陳代謝，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)從總體上看是穩(wěn)定的。

熵增原理指出的是宏觀過程的不可逆性。它指出，孤立系統(tǒng)中過程的進(jìn)行指向熵增加方向，進(jìn)行的限度由熵的最大值給出。故有：

dS≥0，或△S≥0⑶

其中，S表示熵。熵增定律適合于孤立系統(tǒng)。

熵增定律僅僅適合于孤立系統(tǒng)，這是一個(gè)太強(qiáng)的條件。雖然從處理方法上講，假定自然界存在孤立過程是可以的。但是從本質(zhì)上講，把某一事物從自然界中孤立出來，就使理論帶上了一定的主觀色彩。實(shí)際上，絕對的聯(lián)系和相對的孤立的綜合，才是事物運(yùn)動的本來面目。那么，當(dāng)系統(tǒng)不再人為地被孤立的時(shí)候，它就不再是只有熵增，而是既有熵增，又有熵減了。

現(xiàn)在，一個(gè)中心問題出現(xiàn)了，在系統(tǒng)的熵增和熵減過程中，是否存在一個(gè)不動點(diǎn)，使熵增和熵減達(dá)到平衡（△S=0）。

熵增為零的現(xiàn)象是存在的，在孤立系統(tǒng)中，平衡狀態(tài)就是熵增為零。而在非孤立系統(tǒng)中，系統(tǒng)在特定狀態(tài)時(shí)熵增可能為零。

一旦熵增（減）等于零，則熵為常數(shù)。就有：

dS=0，或△S=0⑷

公式⑷與公式⑶的區(qū)別首先在于公式⑶是不等號，而公式⑷是等號。這有什么不同呢？公式⑶的不等號表明系統(tǒng)只有一個(gè)運(yùn)動方向，即指向熵增加方向，而公式⑷的等號則表明系統(tǒng)既可能指向熵增加方向，也可能指向熵減少方向，但是，系統(tǒng)總是圍繞某個(gè)恒定的熵值做回復(fù)振蕩運(yùn)動。

公式⑶在孤立系統(tǒng)中成立，公式⑷則適合一般系統(tǒng)。

由此，就有熵振蕩原理。熵振蕩原理可以表述為，形成熵振蕩的系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的。

或者在更強(qiáng)的條件下，熵振蕩原理表述為：熵保持恒定的系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的。

在系統(tǒng)變化過程中，要在每時(shí)每刻都保持熵為恒量，是一個(gè)太強(qiáng)的條件。而許多過程可以表現(xiàn)為在某些時(shí)間位點(diǎn)上熵為恒量。這時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)熵振蕩過程，當(dāng)熵振蕩的時(shí)段極短時(shí)，它趨近于等熵過程。

存在振蕩原理

由此就有存在振蕩原理的信息密度表述。即形成信息密度振蕩的系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的。

或者在更強(qiáng)的條件下，存在振蕩原理表述為：信息密度保持恒定的系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的。

信息密度保持恒定，意味著信息密度的變化為0，即：

dS=0，或△S=0⑸

上式與公式⑷形式上完全一致。不過，公式⑷中的S是表示熵，公式⑸中的S是表示信息密度，當(dāng)慣性=常數(shù)=1時(shí)，公式⑷與公式⑸完全一致。故在不產(chǎn)生混淆時(shí)，熵和信息密度都用S表示。

由此，就有如下關(guān)系：

在一般情況下，系統(tǒng)服從存在振蕩原理：形成信息密度振蕩的系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的。或者說：信息密度保持恒定的系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的。

當(dāng)慣性=常數(shù)=1時(shí)，系統(tǒng)服從熵振蕩原理：形成熵振蕩的系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的。

或者說：熵保持恒定的系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的。

在孤立系統(tǒng)中，系統(tǒng)服從熵增原理：孤立系統(tǒng)中過程的進(jìn)行指向熵增加方向。

系統(tǒng)穩(wěn)定性

一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)通常總是處在不斷的運(yùn)動、發(fā)展和變化之中，怎樣應(yīng)用存在振蕩原理來分析該復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定、運(yùn)動、發(fā)展和變化呢？一般方法是建立一個(gè)系統(tǒng)參照系空間，系統(tǒng)參照系空間劃分成許多區(qū)域；將系統(tǒng)置于系統(tǒng)參照系空間中，使系統(tǒng)的各可區(qū)辨部分對應(yīng)于系統(tǒng)參照系空間各區(qū)域；確定系統(tǒng)參照系空間各區(qū)域的信息密度，然后應(yīng)用存在振蕩原理來分析該復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定、運(yùn)動、發(fā)展和變化。

系統(tǒng)各區(qū)域穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)各區(qū)域的信息密度的變化情況不外三種，即dS=0，dS≥0，dS≤0。或者△S=0，△S≥0，△S≤0。這三種情況，對應(yīng)著系統(tǒng)各區(qū)域的穩(wěn)定、運(yùn)動、發(fā)展和變化的情形，歸納說明如下：

dS≥0結(jié)構(gòu)發(fā)展（如生長發(fā)育、細(xì)胞分裂、帝國興起、文化復(fù)興、天才成長、組織發(fā)展、業(yè)務(wù)擴(kuò)展等等）

dS=0結(jié)構(gòu)穩(wěn)定（如新陳代謝、細(xì)胞生滅（平衡）、帝國存續(xù)、文化傳承、天才成功、組織穩(wěn)定、業(yè)務(wù)正常等等）

dS≤0結(jié)構(gòu)消亡（如生命衰老、細(xì)胞衰亡、帝國衰落、文化毀滅、天才毀滅、興亡相繼、結(jié)構(gòu)負(fù)增長、信息遲滯等等）

上面所例舉的系統(tǒng)各區(qū)域的穩(wěn)定、運(yùn)動、發(fā)展和變化的情形，只是指出結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、發(fā)展和消亡的客觀現(xiàn)象，并不涉及這些現(xiàn)象的好壞，即不涉及目標(biāo)。如細(xì)胞分裂不一定好，細(xì)胞衰亡不一定壞。

系統(tǒng)穩(wěn)定的層次分析

系統(tǒng)穩(wěn)定通常是有層次的，不同層次的穩(wěn)定、運(yùn)動、發(fā)展和變化的情形不一樣。如原子不變，原子內(nèi)部的電子運(yùn)動變化多端；分子不變，分子內(nèi)部的原子運(yùn)動變化多端；人體組織不變，組織內(nèi)部的運(yùn)動變化多端；企業(yè)不變，企業(yè)內(nèi)部的運(yùn)作變化多端，等等。

分析系統(tǒng)各層次的穩(wěn)定、運(yùn)動、發(fā)展和變化的情形，也是建立一個(gè)系統(tǒng)參照系空間，系統(tǒng)參照系空間劃分成許多層次；將系統(tǒng)置于系統(tǒng)參照系空間中，使系統(tǒng)的各可區(qū)辨層次對應(yīng)于系統(tǒng)參照系空間各層次；確定系統(tǒng)參照系空間各層次的信息密度，然后應(yīng)用存在振蕩原理來分析該系統(tǒng)各層次的穩(wěn)定、運(yùn)動、發(fā)展和變化。

同樣，系統(tǒng)各層次的信息密度的變化情況不外三種，即dS=0，dS≥0，dS≤0。或者△S=0，△S≥0，△S≤0。這三種情況，對應(yīng)著系統(tǒng)各層次的穩(wěn)定、運(yùn)動、發(fā)展和變化的情形。其表現(xiàn)出的現(xiàn)象與系統(tǒng)各區(qū)域表現(xiàn)出的現(xiàn)象相似。